Формулы параллелограмма

1. Противоположные стороны параллельны и равны.
2. Противоположные углы равны
3. Точка пересечения диагоналей делит их пополам.
4. Сумма углов четырехугольника прилегающих к любой стороне равна 180°
5. В четырехугольнике сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон
6. Сумма углов параллелограмма равна 360°
7. Каждая диагональ делит параллелограмма на два равных треугольника
8. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма всегда параллельны
9. Биссектрисы соседних углов параллелограмма всегда пересекаются под прямым углом (90°)

Длины сторон через диагонали и угол между ними

$$ AB = {1 \over 2} * \sqrt{AC^2 + BD^2 - 2 * AC * BD * cos(α)} $$ $$ AB = {1 \over 2} * \sqrt{AC^2 + BD^2 + 2 * AC * BD * cos(β)} $$ $$ BC = {1 \over 2} * \sqrt{AC^2 + BD^2 - 2 * AC * BD * cos(β)} $$ $$ BC = {1 \over 2} * \sqrt{AC^2 + BD^2 + 2 * AC * BD * cos(α)} $$

Длина стороны через диагонали и известную сторону

$$ AB = \sqrt{AC^2 + BD^2 - 2 * BC^2 \over 2} $$ $$ BC = \sqrt{AC^2 + BD^2 - 2 * AB^2 \over 2} $$

Длины сторон через высоты и угол между сторонами

$$ AB = {BH_{AD} \over sin(α)} = {BH_{AD} \over sin(β)} $$ $$ BC = {BH_{DC} \over sin(α)} = {BH_{DC} \over sin(β)} $$

Длина диагонали через стороны и углы между ними

$$ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(β)} $$ $$ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2 + 2 * AB * BC * cos(α)} $$ $$ BD = \sqrt{AB^2 + BC^2 + 2 * AB * BC * cos(β)} $$ $$ BD = \sqrt{AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(α)} $$

Длина диагонали через стороны и известную диагональ

$$ AC = \sqrt{2 * AB^2 + 2 * BC^2 - BD^2} $$ $$ BD = \sqrt{2 * AB^2 + 2 * BC^2 - AC^2} $$

Длина диагонали через площадь параллелограмма, известную диагональ и угол между диагоналями

$$ AC = {2 * S \over BD * sin(α)} = {2 * S \over BD * sin(β)} $$ $$ BD = {2 * S \over AC * sin(α)} = {2 * S \over AC * sin(β)} $$

Косинус острого угла

$$ cos(α) = {AB^2 + BC^2 - BD^2 \over 2 * AB * BC} $$

Косинус тупого угла

$$ cos(β) = {AB^2 + BC^2 - AC^2 \over 2 * AB * BC} $$

Синус острого и тупого угла через площадь и стороны параллелограмма

$$ sin(α) = sin(β) = {S \over AB * BC} $$

Косинус острого угла через стороны и диагонали

$$ cos(α) = {AC^2 + BD^2 - 4 * AB^2 \over 2 * AC * BD} $$ $$ cos(α) = {BC^2 - AB^2 \over AC * BD} $$

Косинус тупого угла через стороны и диагонали

$$ cos(β) = {AC^2 + BD^2 - 4 * BC^2 \over 2 * AC * BD} $$ $$ cos(β) = {AB^2 - BC^2 \over AC * BD} $$

Синус острого и тупого угла через площадь и диагонали

$$ sin(α) = sin(β) = {2 * S \over AC * BD} $$

$$ BH_{AD} = AB * sin(α) = AB * sin(β) $$ $$ BH_{DC} = BC * sin(α) = BC * sin(β) $$

$$ AA_1 = 2 * AB * sin({β \over 2}) = AB * \sqrt{2 - 2 * cos(β)} $$ $$ AA_1 = 2 * AB * cos({α \over 2}) $$ $$ DD_1 = 2 * AB * sin({β \over 2}) = AB * \sqrt{2 - 2 * cos(β)} $$ $$ DD_1 = 2 * AB * cos({α \over 2}) $$