Формулы ромба

1. Противолежащие стороны ромба параллельны и равны.
2. Диагонали ромба перпендикулярны.
3. Точка пересечения диагоналей делит их пополам.
4. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
5. Диагонали образуют из ромба 4 прямоугольных треугольника.
6. Любой ромб может содержать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.
7. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату одной из сторон ромба умноженному на четыре

1. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом.
2. Когда в параллелограмме хотя бы одна из диагоналей разделяет оба угла (через которые она проходит) пополам, то эта фигурой будет ромб.
   Примечание: Не каждая фигура (четырехугольник) с перпендикулярными диагоналями будет ромбом, так как прежде всего ромб это частный случай параллелограмма, а следовательно должен иметь все его признаки
3. Если в параллелограмм можно вписать круг, то он является ромбом

Длина стороны ромба через площадь (S) и высоту (AE)

$$ AB = {S \over AE} $$

Длина стороны ромба через площадь (S) и синус угла

$$ AB = {\sqrt{S} \over \sqrt{sin(∠CDA)}} = {\sqrt{S} \over \sqrt{sin(∠DAB)}} $$

Длина стороны ромба через диагонали

$$ AB = {\sqrt{AC^2 + DB^2} \over 2} $$

Длина стороны ромба через диагональ и угол

$$ AB = {BD \over 2 * cos(∠CDA)} = {AC \over 2 * cos(∠DAB)} $$

Длина стороны ромба через периметр

$$ AB = {P \over 4} $$

Длина большой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла(∠CDA) или косинус тупого угла(∠DAB)

$$ BD = AB * \sqrt{2 + 2 * cos(∠CDA)} $$ $$ BD = AB * \sqrt{2 - 2 * cos(∠DAB)} $$

Длина малой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла(∠CDA) или косинус тупого угла(∠DAB)

$$ AC = AB * \sqrt{2 - 2 * cos(∠CDA)} $$ $$ AC = AB * \sqrt{2 + 2 * cos(∠DAB)} $$

Длина диагонали ромба через сторону и другую диагональ

$$ BD = \sqrt{4 * AB^2 + AC^2} $$ $$ AC = \sqrt{4 * AB^2 + BD^2} $$

Длина диагонали ромба через площадь и другую диагональ

$$ BD = {2 * S \over AC} $$ $$ AC = {2 * S \over BD} $$

Длина диагонали ромба через тангенс острого tg(∠CDA) или тупого tg(∠DAB) угла и другую диагональ

$$ BD = AC * tg({∠DAB \over 2 }) $$ $$ AC = BD * tg({∠CDA \over 2 }) $$

Площадь ромба через высоту (AE) и сторону

$$ S = AB * AE $$

Площадь ромба через сторону и синус любого угла

$$ S = AB^2 * sin(∠CDA) = AB^2 * sin(∠DAB) $$

Площадь ромба через две диагонали

$$ S = {1 \over 2} * AC * BD $$

Площадь ромба через большую диагональ и тангенс острого угла(∠CDA) или малую диагональ и тангенс тупого угла(∠DAB)

$$ S = {1 \over 2} * BD^2 * tg({∠CDA \over 2}) $$ $$ S = {1 \over 2} * AC^2 * tg({∠DAB \over 2}) $$

Радиус вписанного круга в ромб через высоту ромба (AE)

$$ R = {AE \over 2} $$

Радиус вписанного круга в ромб через площадь и сторону ромба

$$ R = {S \over 2 * AB} $$

Радиус вписанного круга в ромб через сторону и синус любого угла

$$ R = {AB * sin(∠CDA) \over 2} = {AB * sin(∠DAB) \over 2} $$

Радиус вписанного круга в ромб через диагональ и синус угла

$$ R = {BD * sin(∠CDA / 2) \over 2} $$ $$ R = {AC * sin(∠DAB / 2) \over 2} $$

Радиус вписанного круга в ромб через две диагонали

$$ R = {BD * AC \over 2 * \sqrt{BD^2 + AC^2}} $$

Высота ромба через сторону и угол

$$ AE = AB * sin(∠CDA) = AB * sin(∠DAB) $$

Высота ромба через диагональ и угол

$$ AE = BD * sin({∠CDA \over 2}) $$ $$ AE = AC * sin({∠DAB \over 2}) $$

Высота ромба через диагонали

$$ AE = {BD * AC \over \sqrt{BD^2 + AC^2}} $$

Высота ромба через диагонали и сторону

$$ AE = {BD * AC \over 2 * AB} $$

Косинус углов через диагональ и сторону

$$ cos(∠CDA) = {BD \over 2 * AB^2} - 1 = 1 - {AC \over 2 * AB^2} $$ $$ cos(∠DAB) = {AC \over 2 * AB^2} - 1 = 1 - {BD \over 2 * AB^2} $$

Синусы углов через диагонали

$$ sin(∠CDA) = sin(∠DAB) = {2 * BD * AC \over BD^2 + AC^2} $$

Синусы углов через площадь и сторону

$$ sin(∠CDA) = sin(∠DAB) = {S \over AB^2} $$

Тангенс половинных углов через диагонали

$$ tg(∠CDA) = {AC \over BD} $$ $$ tg(∠DAB) = {BD \over AC} $$