Для расчёта всех основных параметров треугольника воспользуйтесь калькулятором.
Остроугольный треугольник - это треугольник, в котором все три угла острые, т.е. меньше 90°. |
Прямоугольный треугольник - это треугольник, содержащий прямой угол. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (АС и АВ), а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (ВС). |
Тупоугольный треугольник - это треугольник, содержащий тупой угол, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.(по числу равных сторон) |
Равносторонний (правильный) треугольник - это треугольник, у которого все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60°). |
Равнобедренный тругольник - это треугольник, у которого два угла и две стороны равны. |
Разносторонний треугольник - это треугольник, в котором все углы, а значит и все стороны попарно различны. |
Произвольные треугольники равны, если:
|
|
Прямоугольные треугольники равны, если равны:
|
Два треугольника являются подобными, если углы одного треугольника равны, углам тругого треугольника, а стороны подобны
Признаки подобия треугольников
Свойства подобных треугольников.
Подобие в прямоугольных треугольниках.
Где: | AB,BC,AC – стороны треугольника |
h – высота треугольника | |
α, β, γ– углы треугольника | |
P – полупериметр | |
AC – основание треугольника |
Площадь произвольного треугольника
$$ S = {1 \over 2} * AC * h $$Площадь треугольника по формуле Герона
$$ P = {AB + BC + AC \over 2} $$ $$ S = \sqrt{P * (P - AB) * (P - BC) * (P - AC)} $$Площадь треугольника по углу и двум сторонам
$$ S = {1 \over 2} * AB * AC * sin(α) $$ $$ S = {1 \over 2} * AB * BC * sin(β) $$ $$ S = {1 \over 2} * AC * BC * sin(γ) $$Площадь треугольника по двум углам и стороне
$$ S = {AB^2 \over 2} * {sin(α) * sin(β) \over sin(α + β)} = {AB^2 \over 2} * {sin(α) * sin(β) \over sin(γ)} $$ $$ S = {BC^2 \over 2} * {sin(γ) * sin(β) \over sin(γ + β)} = {BC^2 \over 2} * {sin(γ) * sin(β) \over sin(α)} $$ $$ S = {AC^2 \over 2} * {sin(γ) * sin(α) \over sin(γ + α)} = {BC^2 \over 2} * {sin(γ) * sin(α) \over sin(β)} $$Площадь прямоугольного треугольника по катетам
Где: | AB,AC – катеты треугольника |
Площадь равнобедренного треугольника
Где: | AB,BC – равные стороны треугольника |
AC – основание треугольника |
Площадь равностороннего треугольника
Где: | AB,BC,AC – равные стороны треугольника |
h – высота треугольника |
Где: | AB,BC,AC – стороны треугольника |
h – высота треугольника | |
α, β, γ– углы треугольника | |
P – полупериметр | |
AC – основание треугольника |
Сторона треугольника по двум сторонам и углу
$$ AB = \sqrt{BC^2 + AC^2 - 2 * BC * AC * cos(γ)} $$ $$ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(α)} $$ $$ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(β)} $$Сторона треугольника по стороне и двум углам
$$ AB = {AC * sin(γ) \over sin(β)} = {AC * sin(γ) \over sin(γ + α)} = {AC * sin(α + β) \over sin(β)} $$ $$ BC = {AB * sin(α) \over sin(γ)} = {AB * sin(α) \over sin(α + β)} = {AB * sin(β + γ) \over sin(γ)} $$ $$ AC = {BC * sin(β) \over sin(α)} = {AB * sin(β) \over sin(β + γ)} = {AB * sin(α + γ) \over sin(α)} $$Сторона прямоугольного треугольника
Где: | AB,AC – катеты треугольника |
BC – гипотенуза треугольника |
Сторона прямоугольного треугольника по теореме Пифагора.
$$ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} $$ $$ AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} $$ $$ AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} $$Сторона равнобедренного треугольника
Где: | AB,BC – равные стороны треугольника |
AC – основание треугольника |
Высота – это перпендикуляр, выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне или её продолжению для треугольника с тупым углом. Высоты треугольника пересекаются в одной точке
Где: | AB,BC,AC – стороны треугольника |
h – высота треугольника | |
P – полупериметр $$ P = {AB + BC + AC \over 2} $$ | |
α, β, γ – углы треугольника | |
R - радиус описанной окружности | |
S - площадь треугольника |
Высота на сторону АС, hAC
$$ h_{AC} = {2 \over AC} * \sqrt{P * (P - AC) * (P - AB) * (P - BC)} $$Высота на сторону AB, hAB
$$ h_{AB} = {2 \over AB} * \sqrt{P * (P - AC) * (P - AB) * (P - BC)} $$Высота на сторону BC, hBC
$$ h_{BC} = {2 \over BC} * \sqrt{P * (P - AC) * (P - AB) * (P - BC)} $$Формула длины высоты через сторону и угол
Высота на сторону АС, hAC
$$ h_{AC} = AB * sin(α) = BC * sin(γ) $$Высота на сторону AB, hAB
$$ h_{AB} = BC * sin(β) = AC * sin(α) $$Высота на сторону BC, hBC
$$ h_{BC} = AC * sin(γ) = AB * sin(β) $$Формула длины высоты через сторону и площадь
Высота на сторону АС, hAC
$$ h_{AC} = {2 * S \over AC} $$Высота на сторону AB, hAB
$$ h_{AB} = {2 * S \over AB} $$Высота на сторону BC, hBC
$$ h_{BC} = {2 * S \over BC} $$Формула длины высоты через стороны и радиус
Высота на сторону АС, hAC
$$ h_{AC} = {AB * BC \over 2 * R} $$Высота на сторону AB, hAB
$$ h_{AB} = {BC * AC \over 2 * R} $$Высота на сторону BC, hBC
$$ h_{BC} = {AB * AC \over 2 * R} $$Формулы высоты из прямого угла в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр - точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.
Где: | AB,AC – катеты треугольника |
BC – гипотенуза треугольника | |
BD, DC – отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой | |
α, β– углы треугольника |
Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы
$$ h = BC * sin(α) * cos(α) = BC * sin(β) * cos(β) $$Формула длины высоты через катет и угол
$$ h = AB * sin(α) = AC * sin(β) $$Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы
$$ h = \sqrt{BD * DC} $$Биссектриса – это отрезок, который делит угол пополам из которого выходит. Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника совпадает с центром вписанной окружности.
Где: | AB,BC,AC – стороны треугольника |
AA1,BB1,CC1 - биссектрисы в треугольнике | |
α, β, γ– углы треугольника | |
P – полупериметр $$ P = {AB + BC + AC \over 2} $$ |
Длина биссектрисы через две стороны и угол
$$ BB_1 = {2 * AB * BC * cos(β/2) \over AB + BC} $$ $$ AA_1 = {2 * AB * AC * cos(α/2) \over AB + AC} $$ $$ CC_1 = {2 * BC * AC * cos(γ/2) \over BC + AC} $$Длина биссектрисы через полупериметр и стороны
$$ BB_1 = {2 * \sqrt{AB * BC * P * (P - AC)} \over AB + BC} $$ $$ AA_1 = {2 * \sqrt{AB * AC * P * (P - BC)} \over AB + AC} $$ $$ CC_1 = {2 * \sqrt{BC * AC * P * (P - AB)} \over BC + AC} $$Длина биссектрисы через три стороны
$$ BB_1 = {\sqrt{AB * BC * (AB + BC + AC) * (AB + BC - AC)} \over AB + BC} $$ $$ AA_1 = {\sqrt{AB * AC * (AB + BC + AC) * (AB + AC - BC)} \over AB + AC} $$ $$ CC_1 = {\sqrt{BC * AC * (AB + BC + AC) * (BC + AC - AB)} \over BC + AC} $$Длина биссектрисы через стороны и отрезки, на которые делит биссектриса
$$ BB_1 = \sqrt{AB * BC - AB_1 * B_1C} $$ $$ AA_1 = \sqrt{AB * AC - BA_1 * A_1C} $$ $$ CC_1 = \sqrt{BC * AC - AC_1 * C_1B} $$Формула длины биссектрис в прямоугольном треугольнике
Где: | AB,AC – катеты треугольника |
BC – гипотенуза треугольника | |
β, γ– острые углы треугольника |
Длина биссектрисы из прямого угла, через катеты.
$$ AA_1 = \sqrt{2} * {AB * AC \over AB + AC} $$Длина биссектрисы из прямого угла, через гипотенузу и угол
$$ AA_1 = {2 * BC \over \sqrt{2}} * {sin(γ) * cos(γ) \over sin(γ) + cos(γ)} $$Длина биссектрисы через катет и угол
$$ BB_1 = {AB \over cos(β / 2)} $$ $$ BB_1 = AB * \sqrt{2 \over 1 + sin(γ)} = AB * \sqrt{2 \over 1 + cos(β)} $$ $$ CC_1 = {AC \over cos(γ / 2)} $$ $$ CC_1 = AC * \sqrt{2 \over 1 + sin(β)} = AC * \sqrt{2 \over 1 + cos(γ)} $$Длина биссектрисы через катет и гипотенузу
$$ BB_1 = AB * \sqrt{{2 * BC \over AB * BC}} $$ $$ CC_1 = AC * \sqrt{{2 * BC \over AC * BC}} $$Длина биссектрисы равнобедренного треугольника
Где: | AB,BC – равные стороны треугольника |
AC – основание треугольника | |
α – равные углы при основании треугольника | |
β – угол образованный равными сторонами треугольника |
Длина биссектрисы через стороны и угол, равнобедренного треугольника
$$ BB_1 = AB * sin(α) = {AC \over 2} * tg(α) = AB * cos({β \over 2}) $$ $$ BB_1 = AB * \sqrt{{1 + cos(β)} \over 2} $$Длина биссектрисы через стороны, равнобедренного треугольника
$$ BB_1 = \sqrt{{AB^2 - AC^2 \over 4}} $$Длина биссектрисы равностороннего треугольника
Где: | AB,BC,AC – равные стороны треугольника |
Медиана – это отрезок, который выходит из вершины и делит противоположную сторону пополам. Медиана делит треугольник на два равных по площади треугольника.
Где: | AB,BC,AC – стороны треугольника |
AA1,BB1,CC1 - медианы в треугольнике | |
α, β, γ– углы треугольника |
Длина медианы через три стороны
$$ BB_1 = {1 \over 2} * \sqrt{2 * AB^2 + 2 * BC^2 - AC^2} $$ $$ AA_1 = {1 \over 2} * \sqrt{2 * AB^2 + 2 * AC^2 - BC^2} $$ $$ CC_1 = {1 \over 2} * \sqrt{2 * BC^2 + 2 * AC^2 - AB^2} $$Длина медианы через две стороны и угол между ними
$$ BB_1 = {1 \over 2} * \sqrt{AB^2 + BC^2 + 2 * AB * BC * cos(β)} $$ $$ AA_1 = {1 \over 2} * \sqrt{AB^2 + AC^2 + 2 * AB * AC * cos(α)} $$ $$ CC_1 = {1 \over 2} * \sqrt{BC^2 + AC^2 + 2 * BC * AC * cos(γ)} $$Длина медианы в прямоугольном треугольнике, выходящая из прямого угла.
Где: | AB,AC – катеты треугольника |
BC – гипотенуза треугольника | |
AA1,BB1,CC1 - медианы в треугольнике | |
β, γ– острые углы треугольника |
Длина медианы в прямоугольном треугольнике, выходящая из прямого угла, равна радиусу описанной окружности, а середина гипотенузы является центром описанной окружности
$$ AA_1 = R = {BC \over 2} $$Длина медианы через катеты
$$ AA_1 = {1 \over 2} * \sqrt{AB^2 * AC^2} $$Длина медианы через катет и острый угол
$$ AA_1 = {AB \over 2 * sin(β)} = {AC \over 2 * cos(β)} $$Радиус описанной окружности произвольного треугольника по сторонам
Где: | AB,BC,AC – стороны треугольника |
P – полупериметр $$ P = {AB + BC + AC \over 2} $$ | |
R - радиус описанной окружности |
Радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне или высоте
Где: | AB,BC,AC – равные стороны треугольника |
h – высота треугольника | |
R - радиус описанной окружности |
Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по сторонам
Где: | AB,BC – равные стороны треугольника |
AC – основание треугольника | |
h – высота треугольника | |
R - радиус описанной окружности |
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника по катетам
Где: | AB,AC – катеты треугольника |
BC – гипотенуза треугольника | |
R - радиус описанной окружности |
Длина окружности, L
$$ L = 2 * \pi * R $$Площадь окружности, S
$$ S = \pi * R^2 $$Радиус вписанной окружности произвольного треугольника по сторонам
Где: | AB,BC,AC – стороны треугольника |
P – полупериметр $$ P = {AB + BC + AC \over 2} $$ | |
R - радиус вписанной окружности |
Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
Где: | AB,BC,AC – равные стороны треугольника |
R - радиус вписанной окружности |
Радиус вписанной окружности равнобедренного треугольник
Где: | AB,BC – равные стороны треугольника |
AC – основание треугольника | |
R - радиус вписанной окружности | |
h – высота треугольника | |
α – угол при основании треугольника |
Радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике
Где: | AB,AC – катеты треугольника |
BC – гипотенуза треугольника | |
R - радиус вписанной окружности |
Длина окружности, L
$$ L = 2 * \pi * R $$Площадь окружности, S
$$ S = \pi * R^2 $$В произвольном треугольнике
Углы в прямоугольном треугольнике