Формулы треугольника

Для расчёта всех основных параметров треугольника воспользуйтесь калькулятором.

Виды треугольников

  1. Остроугольный треугольник - это треугольник, в котором все три угла острые, т.е. меньше 90°.
  2. Прямоугольный треугольник - это треугольник, содержащий прямой угол.

    Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (АС и АВ), а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (ВС).

  3. Тупоугольный треугольник - это треугольник, содержащий тупой угол, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.(по числу равных сторон)
  4. Равносторонний (правильный) треугольник - это треугольник, у которого все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60°).
  5. Равнобедренный тругольник - это треугольник, у которого два угла и две стороны равны.
  6. Разносторонний треугольник - это треугольник, в котором все углы, а значит и все стороны попарно различны.

Свойства треугольника, применимые к любому треугольнику:

  1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
  2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. (В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.)
  3. Сумма углов треугольника равна 180° (Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60°).
  4. Продолжая одну из сторон треугольника (AВ), получаем внешний угол Θ.
  5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:
    • $$ AB < BC + CA $$
    • $$ AB > BC - CA $$
    • $$ BC < AB + CA $$
    • $$ BC > AB - CA $$
    • $$ CA < AB + BC $$
    • $$ CA > AB - BC $$

Признаки равенства треугольников

Произвольные треугольники равны, если:

  • Три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника (по трем сторонам).

    AB = DE и BC = EF и AC = DF
  • Две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами также равны (по двум сторонам и углу между ними).

    AB = DE и BC = EF и ∠ABC = ∠DEF;

    BC = EF и AC = DF и ∠BCA = ∠EFD;

    AB = DE и AC = DF и ∠CAB = ∠FDE;

  • Три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника (по трем углам).

    ∠ABC = ∠DEF и ∠BCA = ∠EFD и ∠CAB = ∠FDE;
  • Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, и любая сторона первого треугольника равна соответствующей стороне другого треугольника.

    ∠ABC = ∠DEF и ∠BCA = ∠EFD;

    ∠BCA = ∠EFD и ∠CAB = ∠FDE;

    ∠CAB = ∠FDE и ∠ABC = ∠DEF;

    AB = DE или BC = EF или AC = DF

Прямоугольные треугольники равны, если равны:

  • Гипотенуза и острый угол.

    BC = EF и ∠ABC = ∠DEF

    BC = EF и ∠BCA = ∠EFD;

  • Катет и противолежащий угол.

    AB = DE и ∠BCA = ∠EFD

    AC = DF и ∠ABC = ∠DEF

  • Катет и прилежащий угол.

    AB = DE и ∠ABC = ∠DEF

    AC = DF и ∠BCA = ∠EFD

  • Два катета.

    AB = DE и AC = DF

  • Гипотенуза и катет.

    AB = DE и BC = EF

    AC = DF и BC = EF

Подобные треугольники

Два треугольника являются подобными, если углы одного треугольника равны, углам тругого треугольника, а стороны подобны

  • ∠ABC = ∠DEF и ∠BCA = ∠EFD и ∠CAB = ∠FDE;
  • $$ {AB \over DE} = {BC \over EF} = {CA \over FD} = К_{подобия} $$

Признаки подобия треугольников

  • Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
  • Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны.
  • Три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

Свойства подобных треугольников.

  • Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия (Kподобия) $$ {S_{ΔABC} \over S_{ΔDEF}} = К_{подобия}^2 $$
  • Отношение периметров и длин биссектрис, медиан, высот, серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. т.е. в подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Подобие в прямоугольных треугольниках.

  • Треугольники, образованные высотой, опущенной из прямого угла, являются подобными друг другу
  • Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.
  • Если два катета одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
  • Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.

Площадь треугольника

Где: AB,BC,AC – стороны треугольника
h – высота треугольника
α, β, γ– углы треугольника
P – полупериметр
AC – основание треугольника

Площадь произвольного треугольника

$$ S = {1 \over 2} * AC * h $$

Площадь треугольника по формуле Герона

$$ P = {AB + BC + AC \over 2} $$ $$ S = \sqrt{P * (P - AB) * (P - BC) * (P - AC)} $$

Площадь треугольника по углу и двум сторонам

$$ S = {1 \over 2} * AB * AC * sin(α) $$ $$ S = {1 \over 2} * AB * BC * sin(β) $$ $$ S = {1 \over 2} * AC * BC * sin(γ) $$

Площадь треугольника по двум углам и стороне

$$ S = {AB^2 \over 2} * {sin(α) * sin(β) \over sin(α + β)} = {AB^2 \over 2} * {sin(α) * sin(β) \over sin(γ)} $$ $$ S = {BC^2 \over 2} * {sin(γ) * sin(β) \over sin(γ + β)} = {BC^2 \over 2} * {sin(γ) * sin(β) \over sin(α)} $$ $$ S = {AC^2 \over 2} * {sin(γ) * sin(α) \over sin(γ + α)} = {BC^2 \over 2} * {sin(γ) * sin(α) \over sin(β)} $$

Площадь прямоугольного треугольника по катетам

Где: AB,AC – катеты треугольника
$$ S = {1 \over 2} * AB * AC $$

Площадь равнобедренного треугольника

Где: AB,BC – равные стороны треугольника
AC – основание треугольника
$$ S = {AC \over 4} * \sqrt{4 * AB^2 - AC^2} $$

Площадь равностороннего треугольника

Где: AB,BC,AC – равные стороны треугольника
h – высота треугольника
$$ S = {\sqrt{3} \over 4} * AB^2 $$ $$ S = {h^2 \over \sqrt{3}} $$

Стороны треугольника

Где: AB,BC,AC – стороны треугольника
h – высота треугольника
α, β, γ– углы треугольника
P – полупериметр
AC – основание треугольника

Сторона треугольника по двум сторонам и углу

$$ AB = \sqrt{BC^2 + AC^2 - 2 * BC * AC * cos(γ)} $$ $$ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(α)} $$ $$ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(β)} $$

Сторона треугольника по стороне и двум углам

$$ AB = {AC * sin(γ) \over sin(β)} = {AC * sin(γ) \over sin(γ + α)} = {AC * sin(α + β) \over sin(β)} $$ $$ BC = {AB * sin(α) \over sin(γ)} = {AB * sin(α) \over sin(α + β)} = {AB * sin(β + γ) \over sin(γ)} $$ $$ AC = {BC * sin(β) \over sin(α)} = {AB * sin(β) \over sin(β + γ)} = {AB * sin(α + γ) \over sin(α)} $$

Сторона прямоугольного треугольника

Где: AB,AC – катеты треугольника
BC – гипотенуза треугольника
$$ AC = BC * cos(β) = BC * sin(α) = AB * tg(α) $$ $$ AB = BC * cos(α) = BC * sin(β) = AC * tg(β) $$ $$ BC = {AC \over sin(α)} = {AC \over cos(β)} $$ $$ BC = {AB \over cos(α)} = {AB \over sin(β)} $$

Сторона прямоугольного треугольника по теореме Пифагора.

$$ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} $$ $$ AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} $$ $$ AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} $$

Сторона равнобедренного треугольника

Где: AB,BC – равные стороны треугольника
AC – основание треугольника
$$ AC = 2 * AB * sin({β \over 2}) = AB * \sqrt{2 - 2 * cos(β)} $$ $$ AC = 2 * AB * cos(α) $$ $$ AB = {AC \over 2 * sin(β / 2)} = {AC \over \sqrt{2 - 2 * cos(β)}} $$ $$ AB = {AC \over 2 * cos(α)} $$

Высота треугольника

Высота – это перпендикуляр, выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне или её продолжению для треугольника с тупым углом. Высоты треугольника пересекаются в одной точке

Где: AB,BC,AC – стороны треугольника
h – высота треугольника
P – полупериметр $$ P = {AB + BC + AC \over 2} $$
α, β, γ – углы треугольника
R - радиус описанной окружности
S - площадь треугольника

Высота на сторону АС, hAC

$$ h_{AC} = {2 \over AC} * \sqrt{P * (P - AC) * (P - AB) * (P - BC)} $$

Высота на сторону AB, hAB

$$ h_{AB} = {2 \over AB} * \sqrt{P * (P - AC) * (P - AB) * (P - BC)} $$

Высота на сторону BC, hBC

$$ h_{BC} = {2 \over BC} * \sqrt{P * (P - AC) * (P - AB) * (P - BC)} $$

Формула длины высоты через сторону и угол

Высота на сторону АС, hAC

$$ h_{AC} = AB * sin(α) = BC * sin(γ) $$

Высота на сторону AB, hAB

$$ h_{AB} = BC * sin(β) = AC * sin(α) $$

Высота на сторону BC, hBC

$$ h_{BC} = AC * sin(γ) = AB * sin(β) $$

Формула длины высоты через сторону и площадь

Высота на сторону АС, hAC

$$ h_{AC} = {2 * S \over AC} $$

Высота на сторону AB, hAB

$$ h_{AB} = {2 * S \over AB} $$

Высота на сторону BC, hBC

$$ h_{BC} = {2 * S \over BC} $$

Формула длины высоты через стороны и радиус

Высота на сторону АС, hAC

$$ h_{AC} = {AB * BC \over 2 * R} $$

Высота на сторону AB, hAB

$$ h_{AB} = {BC * AC \over 2 * R} $$

Высота на сторону BC, hBC

$$ h_{BC} = {AB * AC \over 2 * R} $$

Формулы высоты из прямого угла в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр - точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.

Где: AB,AC – катеты треугольника
BC – гипотенуза треугольника
BD, DC – отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой
α, β– углы треугольника
$$ h = {AB * AC \over BC} = {AB * AC \over \sqrt{AB^2 + AC^2}} $$

Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы

$$ h = BC * sin(α) * cos(α) = BC * sin(β) * cos(β) $$

Формула длины высоты через катет и угол

$$ h = AB * sin(α) = AC * sin(β) $$

Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы

$$ h = \sqrt{BD * DC} $$

Биссектрисы в треугольнике

Биссектриса – это отрезок, который делит угол пополам из которого выходит. Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника совпадает с центром вписанной окружности.

Где: AB,BC,AC – стороны треугольника
AA1,BB1,CC1 - биссектрисы в треугольнике
α, β, γ– углы треугольника
P – полупериметр $$ P = {AB + BC + AC \over 2} $$

Длина биссектрисы через две стороны и угол

$$ BB_1 = {2 * AB * BC * cos(β/2) \over AB + BC} $$ $$ AA_1 = {2 * AB * AC * cos(α/2) \over AB + AC} $$ $$ CC_1 = {2 * BC * AC * cos(γ/2) \over BC + AC} $$

Длина биссектрисы через полупериметр и стороны

$$ BB_1 = {2 * \sqrt{AB * BC * P * (P - AC)} \over AB + BC} $$ $$ AA_1 = {2 * \sqrt{AB * AC * P * (P - BC)} \over AB + AC} $$ $$ CC_1 = {2 * \sqrt{BC * AC * P * (P - AB)} \over BC + AC} $$

Длина биссектрисы через три стороны

$$ BB_1 = {\sqrt{AB * BC * (AB + BC + AC) * (AB + BC - AC)} \over AB + BC} $$ $$ AA_1 = {\sqrt{AB * AC * (AB + BC + AC) * (AB + AC - BC)} \over AB + AC} $$ $$ CC_1 = {\sqrt{BC * AC * (AB + BC + AC) * (BC + AC - AB)} \over BC + AC} $$

Длина биссектрисы через стороны и отрезки, на которые делит биссектриса

$$ BB_1 = \sqrt{AB * BC - AB_1 * B_1C} $$ $$ AA_1 = \sqrt{AB * AC - BA_1 * A_1C} $$ $$ CC_1 = \sqrt{BC * AC - AC_1 * C_1B} $$

Формула длины биссектрис в прямоугольном треугольнике

Где: AB,AC – катеты треугольника
BC – гипотенуза треугольника
β, γ– острые углы треугольника

Длина биссектрисы из прямого угла, через катеты.

$$ AA_1 = \sqrt{2} * {AB * AC \over AB + AC} $$

Длина биссектрисы из прямого угла, через гипотенузу и угол

$$ AA_1 = {2 * BC \over \sqrt{2}} * {sin(γ) * cos(γ) \over sin(γ) + cos(γ)} $$

Длина биссектрисы через катет и угол

$$ BB_1 = {AB \over cos(β / 2)} $$ $$ BB_1 = AB * \sqrt{2 \over 1 + sin(γ)} = AB * \sqrt{2 \over 1 + cos(β)} $$ $$ CC_1 = {AC \over cos(γ / 2)} $$ $$ CC_1 = AC * \sqrt{2 \over 1 + sin(β)} = AC * \sqrt{2 \over 1 + cos(γ)} $$

Длина биссектрисы через катет и гипотенузу

$$ BB_1 = AB * \sqrt{{2 * BC \over AB * BC}} $$ $$ CC_1 = AC * \sqrt{{2 * BC \over AC * BC}} $$

Длина биссектрисы равнобедренного треугольника

Где: AB,BC – равные стороны треугольника
AC – основание треугольника
α – равные углы при основании треугольника
β – угол образованный равными сторонами треугольника

Длина биссектрисы через стороны и угол, равнобедренного треугольника

$$ BB_1 = AB * sin(α) = {AC \over 2} * tg(α) = AB * cos({β \over 2}) $$ $$ BB_1 = AB * \sqrt{{1 + cos(β)} \over 2} $$

Длина биссектрисы через стороны, равнобедренного треугольника

$$ BB_1 = \sqrt{{AB^2 - AC^2 \over 4}} $$

Длина биссектрисы равностороннего треугольника

Где: AB,BC,AC – равные стороны треугольника
$$ BB_1 = {AB * \sqrt{3} \over 2} $$

Медиана в треугольнике

Медиана – это отрезок, который выходит из вершины и делит противоположную сторону пополам. Медиана делит треугольник на два равных по площади треугольника.

Где: AB,BC,AC – стороны треугольника
AA1,BB1,CC1 - медианы в треугольнике
α, β, γ– углы треугольника

Длина медианы через три стороны

$$ BB_1 = {1 \over 2} * \sqrt{2 * AB^2 + 2 * BC^2 - AC^2} $$ $$ AA_1 = {1 \over 2} * \sqrt{2 * AB^2 + 2 * AC^2 - BC^2} $$ $$ CC_1 = {1 \over 2} * \sqrt{2 * BC^2 + 2 * AC^2 - AB^2} $$

Длина медианы через две стороны и угол между ними

$$ BB_1 = {1 \over 2} * \sqrt{AB^2 + BC^2 + 2 * AB * BC * cos(β)} $$ $$ AA_1 = {1 \over 2} * \sqrt{AB^2 + AC^2 + 2 * AB * AC * cos(α)} $$ $$ CC_1 = {1 \over 2} * \sqrt{BC^2 + AC^2 + 2 * BC * AC * cos(γ)} $$

Длина медианы в прямоугольном треугольнике, выходящая из прямого угла.

Где: AB,AC – катеты треугольника
BC – гипотенуза треугольника
AA1,BB1,CC1 - медианы в треугольнике
β, γ– острые углы треугольника

Длина медианы в прямоугольном треугольнике, выходящая из прямого угла, равна радиусу описанной окружности, а середина гипотенузы является центром описанной окружности

$$ AA_1 = R = {BC \over 2} $$

Длина медианы через катеты

$$ AA_1 = {1 \over 2} * \sqrt{AB^2 * AC^2} $$

Длина медианы через катет и острый угол

$$ AA_1 = {AB \over 2 * sin(β)} = {AC \over 2 * cos(β)} $$

Описанная окружность

Радиус описанной окружности произвольного треугольника по сторонам

Где: AB,BC,AC – стороны треугольника
P – полупериметр $$ P = {AB + BC + AC \over 2} $$
R - радиус описанной окружности
$$ R = {AB * BC * CA \over 4 * \sqrt{P * (P - AB) * (P - BC) * (P - AC)}} $$

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне или высоте

Где: AB,BC,AC – равные стороны треугольника
h – высота треугольника
R - радиус описанной окружности
$$ R = {AB \over \sqrt{3}} $$ $$ R = {2 * h \over 3} $$

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по сторонам

Где: AB,BC – равные стороны треугольника
AC – основание треугольника
h – высота треугольника
R - радиус описанной окружности
$$ R = {AB^2 \over \sqrt{4 * AB^2 - AC^2}} $$

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника по катетам

Где: AB,AC – катеты треугольника
BC – гипотенуза треугольника
R - радиус описанной окружности
$$ R = {1 \over 2} * \sqrt{AB^2 + AC^2} = {BC \over 2} $$

Длина окружности, L

$$ L = 2 * \pi * R $$

Площадь окружности, S

$$ S = \pi * R^2 $$

Вписанная окружность

Радиус вписанной окружности произвольного треугольника по сторонам

Где: AB,BC,AC – стороны треугольника
P – полупериметр $$ P = {AB + BC + AC \over 2} $$
R - радиус вписанной окружности
$$ R = \sqrt{{P * (P - AB) * (P - BC) * (P - AC)} \over P} $$

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

Где: AB,BC,AC – равные стороны треугольника
R - радиус вписанной окружности
$$ R = {AB \over 2 * \sqrt{3}} $$

Радиус вписанной окружности равнобедренного треугольник

Где: AB,BC – равные стороны треугольника
AC – основание треугольника
R - радиус вписанной окружности
h – высота треугольника
α – угол при основании треугольника
$$ R = {AC \over 2} * \sqrt {{2 * AB - AC \over 2 * AB + AC}} $$ $$ R = AB * {sin(α) * cos(α) \over 1 + cos(α)} = AB * cos(α) * tan({α \over 2}) $$ $$ R = {AC \over 2} * {sin(α) \over 1 + cos(α)} = {AC \over 2} * tan({α \over 2}) $$ $$ R = {AC * h \over AC + \sqrt{4 * h^2 + AC^2}} $$ $$ R = {h * \sqrt{AB^2 - h^2} \over AB + \sqrt{AB^2 - h^2}} $$

Радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике

Где: AB,AC – катеты треугольника
BC – гипотенуза треугольника
R - радиус вписанной окружности
$$ R = {AB * AC \over AB + AC + BC} = {AB + AC - BC \over 2} $$

Длина окружности, L

$$ L = 2 * \pi * R $$

Площадь окружности, S

$$ S = \pi * R^2 $$

Углы треугольника

В произвольном треугольнике

  • Если известны два угла,(∠ α, ∠ β) $$ ∠ γ = 180° - ∠ α - ∠ β $$
  • Если известны три стороны $$ ∠ α = {AB^2 + AC^2 - BC^2 \over 2 * AB * AC} $$ $$ ∠ β = {AB^2 + BC^2 - AC^2 \over 2 * AB * BC} $$ $$ ∠ γ = {AC^2 + BC^2 - AB^2 \over 2 * AC * BC} $$

Углы в прямоугольном треугольнике

$$ sin(α) = {AC \over BC} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; cos(α) = {AB \over BC} $$ $$ td(α) = {AC \over AB} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; ctd(α) = {AB \over AC} $$ $$ sin(β) = {AB \over BC} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; cos(β) = {AC \over BC} $$ $$ tg(β) = {AB \over AC} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; ctg(β) = {AC \over AB} $$ $$ sin(α) = cos(β) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; tg(α) = ctg(β) $$